Данную презентацию можно использовать на любом этапе урока. Содержит элементы повторения пройденного материала, новый теоретический материал, решение задач.
Просмотр содержимого документа
«Презентация по геометрии "Определение подобия треугольников"»
Геометрия, 8 класс
Определение подобных треугольников
Цели урока:
- Повторить понятия «отношение двух чисел»,
«пропорция» ; вспомнить основное свойство
пропорции.
2. Ввести понятие пропорциональных отрезков и
подобных треугольников.
3. Закрепить полученные знания посредством
решения задач.
А теперь вспомним:
- Что называют отношением двух чисел?
Что показывает отношение?
2. Отношение АМ к ВС равно 2:3. О чём это говорит?
Найдите отношение 3:2.
3. В треугольнике АВС АВ:ВС:АС= 1:3:2, его периметр равен 42 см. Найдите стороны треугольника АВС.
4.Что называют пропорцией? Верны ли пропорции
1,2: 3,6 = 6: 18 ; 15: 3 = 4: 20 ?
Продолжим:
5. В пропорции а: b = c: d укажите крайние и средние
члены. Сформулируйте основное свойство пропорции.
6. Переставив средние и крайние члены пропорции,
Составьте верные пропорции:
а). 14: 0,2= 35: 0,5 ; б). AB: MN = С D: КР.
7. Найдите неизвестный член пропорции:
а). 2х: 3 = 16: 9 ; б). х: АВ = MN: КР.
Что называется отношением отрезков?
Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. АВ:С D.
АВ: С D = 4 : 6 или АВ: С D = 2: 3
Какие отрезки называются пропорциональными?
АВ = 2 см, А 1 В 1 = 5 см
C 1 D 1 = 6 см
Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и
С 1 D 1 , если
A 1 B 1 C 1 D 1 .
Два треугольника называют подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
АВ и А 1 В 1
сходственные стороны
ВС и В 1 С 1
СА и С 1 А 1
Итак, Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1 подобны, если будут выполняться условия :
k , где k- коэффициент
А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1
- Даны отрезки: АВ= 12см, CD= 8 см, EF= 15 см, KL= 30 см, MN= 16 см, PQ= 20 см. Найдите среди них пары пропорциональных отрезков.
EF 15 5 получили, что
MN 16 4 АВ MN , значит отрезки АВ и MN
PQ 20 5 EF PQ пропорциональны
отрезкам EF и PQ .
(Самостоятельно найдите ещё две пары пропорциональных отрезков)
- В подобных треугольниках АВС и EDF сто-роны АВ и АС, ВС и DF являются сходст-
венными. Найдите стороны АВ и АС тре-угольника АВС, если ED= 3 см, EF= 7 см,
1. Зная величины сходственных сторон ВС и DF треугольников АВС и EDF , определите коэффициент подобия k .
2. Определите АВ= k · ED и АС= k·EF .
Используемая литература:
1.ГавриловаН.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс.-М.: ВАКО, 2008г.
2.Геометрия. Рабочая тетрадь, 8 класс. Пособие для учащихся общеобразова-тельных школ. Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков, И.И.Юдина. М.:Просвещение, 2011г.
3.Геометрия, 7-9:учеб.для общеобразоват. учреждений/(Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев др.).М.:Просвещение,2012г.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Подобные треугольники
Подобные фигуры Фигуры принято называть подобными, если они имеют одинаковую форму (похожи по виду).
Подобие в жизни(карты местности)
Пропорциональные отрезки Определение: отрезки называются пропорциональными, если пропорциональны их длины. 12 6 8 4 А 1 В 1 АВ С 1 К 1 СК Говорят, что отрезки А 1 В 1 и С 1 К 1 пропорциональны отрезкам АВ и СК. Пропорциональны ли отрезки АВ и СК отрезкам ЕР и НТ, если: а) АВ = 15 см, СК = 2,5 см, ЕР = 3 см, НТ = 0,5 см? б) АВ = 12 см, СК = 2,5 см, ЕР = 36 см, НТ = 5 см? в) АВ = 24см, СК = 2,5 см, ЕР = 12 см, НТ = 5 см? да нет нет А В 6 см С К 4 см А 1 В 1 12 см С 1 8 см К 1
б Пропорциональные отрезки Тест 1. Указать верное утверждение: а) отрезки АВ и РН пропорциональны отрезкам СК и МЕ; б) отрезки МЕ и АВ пропорциональны отрезкам РН и СК; в) отрезки АВ и МЕ пропорциональны отрезкам РН и СК. А В 3 см С К 2см М Е 9 см Р Н 6 см Приложение: равенство МЕ АВ РН СК можно записать ещё тремя равенствами: РН СК МЕ АВ; МЕ РН АВ СК; АВ СК МЕ РН.
Пропорциональные отрезки 2 . Тест F Y Z R L S N 1 c м 2 см 4 см 2 см 3 см Какой отрезок нужно вписать, чтобы было верным утверждение: отрезки FY и YZ пропорциональны отрезкам LS и ……. а) RL ; б) RS ; в) SN а) RL
Пропорциональные отрезки (нужное свойство) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Н Дано: АВС, АК – биссектриса. Доказательство: 1 А В К С 2 Т. к. АК – биссектриса, то 1 = 2, значит, АВК и АСК имеют по равному углу, поэтому Доказать: ВК АВ КС АС S АВК S АСК АВ ∙ АК АС ∙ АК AB AC АВК и АСК имеют общую высоту АН, значит, S АВК S АСК ВК К C AB А C BK K С ВК АВ КС АС Следовательно, Проведём АН ВС.
Подобные треугольники Определение: треугольники называются подобными, если углы одного треугольника равны углам другого треугольника и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А 1 В 1 С 1 А В С Сходственными сторонами в подобных треугольниках называются стороны, лежащие против равных углов. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 АВ ВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K – коэффициент подобия ~
Подобные треугольники А 1 В 1 С 1 А В С Нужное свойство: А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С, АВ ВС АС А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1 , – коэффициент подобия 1 k A 1 B 1 C 1 ABC , K – коэффициент подобия ~
Реши задачи 3. По данным на чертеже найти стороны АВ и В 1 С 1 подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1: А В С А 1 С 1 В 1 6 3 4 2,5 ? ? Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 3 . 2. Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 1/3.
Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: Р МКЕ: Р АВС = k Доказательство: K , МК АВ КЕ ВС МЕ АС Значит, МК = k ∙ АВ, КЕ = k ∙ ВС, МЕ = k ∙ АС. Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то Р МКЕ = МК + КЕ + МЕ = k ∙ АВ + k ∙ ВС + k ∙ АС = k ∙ (АВ + ВС + АС) = k ∙ Р АВС. Значит, Р МКЕ: Р АВС = k .
Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициент a подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: S МКЕ: S АВС = k 2 Доказательство: Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то M = A, k, MK AB ME AC значит, МК = k ∙ АВ, МЕ = k ∙ АС. S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ АВ ∙ k ∙ АС АВ ∙ АС k 2
Реши задачи Две сходственные стороны подобных треугольников равны 8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см. Чему равен периметр первого треугольника? 24 см 2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 . Чему равна площадь первого треугольника? 81 см 2 3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 . Чему равна площадь первого треугольника? 8 см 2 4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 . Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна сходственная сторона второго треугольника? 8 см
Решение задачи Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и 32 дм 2 , сумма их периметров равна 117 дм. Найдите периметр каждого треугольника. Найти: Р АВС, Р РЕК Решение: Т. к. по условию треугольники АВС и РЕК подобны, то: Дано: АВС, РЕК подобны, S АВС = 50 дм 2 , S РЕК = 32 дм 2 , Р АВС + Р РЕК = 117дм. S АВС S РЕК 50 32 25 16 K 2 . Значит, k = 5 4 K , Р АВС Р РЕК Р АВС Р РЕК 5 4 1,25 Значит, Р АВС = 1,25 Р РЕК Пусть Р РЕК = х дм, тогда Р АВС = 1,25 х дм Т. к. по условию Р АВС + Р РЕК = 117дм, то 1,25 х + х = 117, х = 52. Значит, Р РЕК = 52 дм, Р АВС = 117 – 52 = 65 (дм). Ответ: 65 дм, 52 дм.
« Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» М. В. Ломоносов Желаю успехов в учёбе! Михайлова Л. П. ГОУ ЦО № 173.
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
МБОУ Гимназия №14
Учитель математики: Е.Д. Лазарева
Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е.
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если
Определение подобных треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Число k , равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия
B 1
A 1
C 1
Отношение площадей подобных треугольников
Отношением площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
B 1
A 1
C 1
I
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
A = A 1 , B = B 1
Доказать:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Признаки подобия треугольников
II признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
Доказать:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Признаки подобия треугольников
III признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
Доказать:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны
ABC, MN – средняя линия
Доказать:
MN AC, MN = AC
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1,считая от вершины
A 1
C 1
B 1
Применение подобия к решению задач
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
ABC ACD,
Применение подобия к доказательству теорем
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой
Применение подобия к доказательству теорем
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Презентация «Определение подобных треугольников» охватывает этап введения нового понятия на уроке геометрии в 8 классе - подобия треугольников. После уточнения понятия пропорциональности отрезков, на основе которого строится понятие подобия, ученики переходят к рассмотрению достаточно сложного для них материала - подобия. При помощи презентации учитель во время объяснения формирует четкое представление учеников об изучаемом предмете - подобии треугольников, продолжает формировать навыки использования математической речи, формирует навыки применения изученного понятия для решения практических задач.
слайды 1-2 (Тема презентации "Определение подобных треугольников", примерs)
Для объяснения свойства подобия треугольников в презентации используются следующие инструменты:
- выделение красным цветом главных понятий;
- анимированное построение графической части для уточнения определения, наглядности при объяснении материала;
- заключение в рамку основных алгебраических выражений по теме;
- использование рисунков для понимания практического смысла изучаемого понятия.
Такая демонстрация позволяет углубить понимание материала, облегчить его запоминание.
Начинается презентация с демонстрации предметов, на очертаниях которых строятся подобные геометрические фигуры. В качестве примеров приводятся футбольный и гандбольный мячи, узорчатые тарелки разных размеров. Справа от предметов изображаются очертания фигур, которые подобны между собой - большой и маленький квадрат, большой и маленький круг.
слайды 3-4 (определение подобных треугольников)
Такая демонстрация, вводящая ученика в изучение данного понятия через практическое применение, очень эффективна и помогает решить одну из важных целей урока - закрепить представление ученика об изучаемом предмете.
На следующем слайде понятие подобия раскладывается на составляющие при помощи двух построенных треугольников АВС и А1В1С1. Используя анимацию, постепенно соответствующие углы отмечаются как равные. Соответствующие углы обозначаются одинаково - А и А1 одним полукругом, В и В1 - двумя, С и С1 - тремя. При том, что данные треугольники имеют равные углы, их соответствующие стороны называют сходственными. Данное выражение в дальнейшем необходимо употреблять при решении геометрических задач, поэтому выражение выделено зеленым цветом, означая необходимость запомнить его и употреблять в дальнейшем.
слайд 5 (сайт)
Теперь можно сформулировать определение подобия треугольников при соответствующем равенстве углов и пропорциональности сходственных сторон. Далее демонстрируется алгебраическая запись условий подобия треугольников - равенство углов и пропорциональность всех трех сторон. Условие пропорциональности сторон заключено в рамку для запоминания. Результат отношения каждой пары - одно и то же число. Оно обозначается k и определяется как коэффициент подобия треугольников.
На основе изученного понятия следует изучение следующих тем курса геометрии - отношения площадей подобных треугольников, признаки подобия треугольников.
Данная презентация «Определение подобных треугольников» может быть рекомендована не только в качестве демонстрационного материала на уроке геометрии, сопровождающая объяснение учителя. Она может помочь ученику в самостоятельном изучении материала, а также поможет объяснить понятие подобия на уроке при дистанционном обучении.
