Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Из тригонометрических определений функций $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ можно узнать их значения для углов $0$ и $90$ градусов:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не определяется;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не определяется.
В школьном курсе геометрии при изучении прямоугольных треугольников находят тригонометрические функции углов $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.
Найденные значения тригонометрических функций для указанных углов в градусах и радианах соответственно ($0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) для удобства запоминания и использования заносят в таблицу, которую называют тригонометрической таблицей , таблицей основных значений тригонометрических функций и т.п.
При использовании формул приведения, тригонометрическая таблица может быть расширена до угла $360°$ и соответственно $2\pi$ радиан:
Применяя свойства периодичности тригонометрических функций, каждый угол, который будет отличаться от уже известного на $360°$, можно рассчитать и записать в таблицу. Например, тригонометрическая функция для угла $0°$ будет иметь такое же значение и для угла $0°+360°$, и для угла $0°+2 \cdot 360°$, и для угла $0°+3 \cdot 360°$ и т.д.
С помощью тригонометрической таблицы можно определить значения всех углов единичной окружности.
В школьном курсе геометрии предполагается запоминание основных значений тригонометрических функций, собранных в тригонометрической таблице, для удобства решения тригонометрических задач.
Использование таблицы
В таблице достаточно найти необходимую тригонометрическую функцию и значение угла или радиан, для которых эту функцию нужно вычислить. На пересечении строки с функцией и столбца со значением получим искомое значение тригонометрической функции заданного аргумента.
На рисунке можно увидеть, как найти значение $\cos60°$, которое равно $\frac{1}{2}$.
Аналогично используется расширенная тригонометрическая таблица. Преимуществом ее использования является, как уже упоминалось, вычисление тригонометрической функции практически любого угла. Например, легко можно найти значение $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300°$:
Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций
Возможность расчета тригонометрической функции абсолютно любого значения угла для целого значения градусов и целого значения минут дает использование таблиц Брадиса. Например, найти значение $\cos34°7"$. Таблицы разделены на 2 части: таблицу значений $\sin$ и $\cos$ и таблицу значений $\tan$ и $\cot$.
Таблицы Брадиса дают возможность получить приближенное значение тригонометрических функций с точностью до 4-х знаков после десятичной запятой.
Использование таблиц Брадиса
Используя таблицы Брадиса для синусов, найдем $\sin17°42"$. Для этого в столбце слева таблицы синусов и косинусов находим значение градусов – $17°$, а в верхней строке находим значение минут – $42"$. На их пересечении получаем искомое значение:
$\sin17°42"=0,304$.
Для нахождения значения $\sin17°44"$ нужно воспользоваться поправкой в правой части таблицы. В данном случае к значению $42"$, которое есть в таблице, нужно добавить поправку для $2"$, которая равна $0,0006$. Получим:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Для нахождения значения $\sin17°47"$ также пользуемся поправкой в правой части таблицы, только в этом случае за основу берем значение $\sin17°48"$ и отнимаем поправку для $1"$:
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
При расчете косинусов выполняем аналогичные действия, но градусы смотрим в правом столбце, а минуты – в нижней колонке таблицы. Например, $\cos20°=0,9397$.
Для значений тангенса до $90°$ и котангенса малого угла поправок нет. Например, найдем $\tan 78°37"$, который по таблице равен $4,967$.
В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.
Навигация по странице.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
Понятия синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.
Понятие угла: радиан, градус
Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .
Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!
Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.
Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен.
То есть на рисунке выше изображён угол, равный, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.
Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.
Итак, на рисунке изображён угол, равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:
Где - центральный угол в радианах.
Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:
Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что. Соответственно, . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.
А сколько радиан составляют? Всё верно!
Уловил? Тогда вперёд закреплять:
Возникли трудности? Тогда смотри ответы :
Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла
Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона); катеты - это две оставшиеся стороны и (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла, то катет - это прилежащий катет, а катет - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике.
Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике.
Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике.
Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике.
Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;
Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла. По определению, из треугольника: , но ведь мы можем вычислить косинус угла и из треугольника: . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника, изображённого ниже на рисунке, найдём.
Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла.
Единичная (тригонометрическая) окружность
Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным. Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.
Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.
А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.
А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.
Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:
Не существует;
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?
Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .
Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.
Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:
Тогда имеем, что для точки координата.
По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
Координаты центра окружности,
Радиус окружности,
Угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?
1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.
4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.
Возникли проблемы в нахождении координот точки на окружности?
Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока "Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?"
Вот этот вывод:
Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.
Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.
Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом - таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )
Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.
В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)
И зачем тогда этот урок?! - спросите вы.
А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, "таблица умножения" тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку...
Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов... Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти - та ещё задачка...)
Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется...)
Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки - тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)
Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.
Первая группа углов.
Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:
Угол х
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Угол х
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
0 |
ctg x |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
0 |
не сущ. |
Желающие запомнить - запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.
Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:
Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ... Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.
Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.
Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались... Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль... А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают...)
Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.
В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.
Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:
А теперь - внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.
Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx - увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до... до... Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!
Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.
Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.
Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов... Да и таблица косинусов - тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся - нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)
Что касается тангенса и котангенса - всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) - и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где - не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге - и нет проблем!
Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов - я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество...) Отсчитал (правильно!) угол на круге - и нет проблем с функциями.
Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки... Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)
А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах - покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол
вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 "пи"...) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.
А если угол
Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.
Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.
Итак, с пятью углами из семнадцати - разобрались.
Вторая группа углов.
Следующая группа углов - это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так... Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.
Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:
Угол х
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Угол х
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
не сущ. |
||
ctg x |
не сущ. |
1 |
0 |
Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.
Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов...
Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) - и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса - убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось...
Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса - убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся... Три значения можно выучить, правда?
С тангенсами - котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.
Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.
Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.
Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.
Кошмар, правда?)
А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)
Или углы в радианах? Например, про углы:
и многие другие, вы должны знать всё .
Самое забавное, что знать это всё - невозможно в принципе. Если использовать механическую память.
И очень легко, фактически элементарно - если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
